偏微分方程問(wèn)題，其求解十分困難。除少數(shù)特殊情況外，絕

大多數(shù)情況均難以求出精確解。因此，近似解法就顯得更為重要。本章僅介紹求解各類(lèi)典型偏微分方程定解問(wèn)題的差分方法。

§1 差分方法的基本概念

1.1 幾類(lèi)偏微分方程的定解問(wèn)題

橢圓型方程：其最典型、最簡(jiǎn)單的形式是泊松（Poisson）方程

?u?u?u??2?f(x,y)2 ?x?y特別地，當(dāng)

22f(x,y)?0時(shí)，即為拉普拉斯（Laplace）方程，又稱(chēng)

22為調(diào)和方程

?u?u?u?2?2?0 ?x?yPoisson方程的第一邊值問(wèn)題為

??u?u?2?2?f(x,y)?x?y??u(x,y)??(x,y)(x,y)??? 其中

22(x,y)???????為以?為邊界的有界區(qū)域，?為分段光滑曲線(xiàn)，

f(x,y)?(x,y)分別為?，?上的已知連

???

稱(chēng)為定解區(qū)域，，續(xù)函數(shù)。

第二類(lèi)和第三類(lèi)邊界條件可統(tǒng)一表示為

??u?????u??(x,y)(x,y)????n? ??其中n為邊界?的外法線(xiàn)方向。當(dāng)??0時(shí)為第二類(lèi)邊界條件， ??0時(shí)為第三類(lèi)邊界條件。

拋物型方程：其最簡(jiǎn)單的形式為一維熱傳導(dǎo)方程

?u?u?a?0(a?0)2 ?t?x方程可以有兩種不同類(lèi)型的定解問(wèn)題：

初值問(wèn)題

22??u?u??a2?0?x??t?u(x,0)??(x)?

初邊值問(wèn)題

t?0,???x??????x?????u?u??t?a?x2?00?t?T,0?x?l???u(x,0)??(x)0?x?l?u(0,t)?g(t),u(l,t)?g(t)0?t?T12??? 其中

2?(x)，g1(t)，g2(t)為已知函數(shù)，且滿(mǎn)足連接條件

?(0)?g1(0),邊界條件1件。

第二類(lèi)和第三類(lèi)邊界條件為

?(l)?g2(0)

u(0,t)?g(t),u(l,t)?g2(t)稱(chēng)為第一類(lèi)邊界條

??u???x??1(t)u?x?0?g1(t)????u?

??(t)u?g(t)22??x?l??x?0?t?T

其中1，2。當(dāng)

類(lèi)邊界條件，

否則稱(chēng)為第三類(lèi)邊界條件。

雙曲型方程:

最簡(jiǎn)單形式為一階雙曲型方程

?(t)?0?(t)?0?1(t)??2(t)?0時(shí)，為第二

?u?u?a?0 ?t?x物理中常見(jiàn)的一維振動(dòng)與波動(dòng)問(wèn)題可用二階波動(dòng)方程

22222?u?a?t?u?x

描述，它是雙曲型方程的典型形式。方程的初值問(wèn)題為

2??2u?u2?2?a2?t?x???u(x,0)??(x)??u?t?0??(x)???tt?0,???x??????x???

邊界條件一般也有三類(lèi)，最簡(jiǎn)單的初邊值問(wèn)題為

2??2u?u2??t2?a?x2?00?t?T,0?x?l???u???(x)0?x?l?u(x,0)??(x),?tt?0??u(0,t)?g(t),u(l,t)?g(t)0?t?T12???

1.2 差分方法的基本概念

差分方法又稱(chēng)為有限差分方法或網(wǎng)格法，是求偏微分方程定 解問(wèn)題的數(shù)值解中應(yīng)用最廣泛的方法之一。

它的基本思想是：先對(duì)求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連 續(xù)變化區(qū)域用有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；將問(wèn)題中出現(xiàn)的連 續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散變量的函數(shù)代替；通過(guò)用網(wǎng) 格點(diǎn)上函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問(wèn) 題化成只含有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱(chēng)為差分格式）。如果 差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無(wú)限變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解 問(wèn)題的解，則差分格式的解就作為原問(wèn)題的近似解（數(shù)值解）。 因此，用差分方法求偏微分方程定解問(wèn)題一般需要解決以下問(wèn)題： （1）選取網(wǎng)格；

（2）對(duì)微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式；

（4）討論差分格式解對(duì)于微分方程解的收斂性及誤差估計(jì)。

下面，用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明用差分方法求解偏微分方程 問(wèn)題的一般過(guò)程及差分方法的基本概念。

設(shè)有一階雙曲型方程初值問(wèn)題。

?u??u?0??a?x??t?u(x,0)??(x)?t?0,???x???

（1） 選取網(wǎng)格：

－2h -h 0 h 2h 3h 首先對(duì)定解區(qū)域分，最簡(jiǎn)單

常用一種網(wǎng)格是用兩族分別平行于D?{(x,t)???x???,t?0}作網(wǎng)格剖x軸與t軸的等距直線(xiàn) ，x?xk?kht?tj?j?(k?0,?1,?2,j?0,1,2,)將

D分成許

多小矩形

區(qū)域。這些直線(xiàn)稱(chēng)為網(wǎng)格線(xiàn)，其交點(diǎn)稱(chēng)為網(wǎng)格點(diǎn)，也稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，

h和?分別稱(chēng)作

x方向和t方向的步長(zhǎng)。這種網(wǎng)格稱(chēng)為矩形網(wǎng)格。

（2） 對(duì)微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一階偏導(dǎo)數(shù)，即

u(xk?1,tj)?u(xk,tj)h?u??u??(xk??1h,tj)x2?x(xk,tj)h2u(xk,tj?1)?u(xk,tj)??u??ut??2(xk,tj??2?)?t(xk,tj)?2其中

0??1,?2?1。

?u?u?a?0方程 ?t ?x(xk,tj)處可表示為

在節(jié)點(diǎn)

u(xk,tj?1)?u(xk,tj)?

?au(xk?1,tj)?u(xk,tj)h

?ah?(xk??1h,tj) ?ut??(xk,tj??2?)?u?x2222

?R(xk,tj)其中

(k?0,?1,?2,?,j?0,1,2,?)

u(xk,0)??(xk)(k?0,?1,?2,)。由于當(dāng)

足夠小時(shí)，在式

h,?中略去

R(xk,tj)，就得到一個(gè)與方程相近似的差分方程

uk,j?1?uk,j

??auk?1,j?uk,jh?0

此處，

uk,j可看作是問(wèn)題的解在節(jié)點(diǎn)(xk,tj)處的近似值。同初值

條件

uk,0??(xk)(k?0,?1,?2,?)

結(jié)合，就得到求問(wèn)題的數(shù)值解的差分格式。 式

?ahR(xk,tj)?ut??2(xk,tj??2?)?u?x?2(xk??1h,tj)22

?O(??h)稱(chēng)為差分方程的截?cái)嗾`差。

qpR?O(??h)，則稱(chēng)差分方 如果一個(gè)差分方程的截?cái)嗾`差為

程對(duì)

t是

q階精度，對(duì)x是p階精度的。顯然，截?cái)嗾`差的階數(shù)

越大，差分方程對(duì)微分方程的逼近越好。

若網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨于0，則稱(chēng) 差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容的。這是用差分方法求解偏微 分方程問(wèn)題的必要條件。

如果當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分格式的解收斂到相應(yīng)微分方 程定解問(wèn)題的解，則稱(chēng)這種差分格式是收斂的。

§2 橢圓型方程第一邊值問(wèn)題的差分解法

本節(jié)以Poisson方程為基本模型討論第一邊值問(wèn)題的差分方法。 2.1 差分格式的建立

考慮Poisson方程的第一邊值問(wèn)題

??2u?2u?2?2?f(x,y)?y??x?u(x,y)??(x,y)(x,y)???

(x,y)??????

取線(xiàn)

h,?分別為

x方向和y方向的步長(zhǎng)，如圖所示，以?xún)勺迤叫?p>x?xk?kh，y?yj?j?(k,j?0,?1,?2,)將定

點(diǎn)

的

全

體

記

為

解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng) 格。節(jié)

R?{(xk,yj)xk?kh,yj?j?,k,j為整數(shù)}。定解區(qū)

域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn)，記內(nèi)點(diǎn)集

R??為?h?。邊界

?與網(wǎng)格

線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)全體記為

?h?。與節(jié)點(diǎn)

(xk,yj)沿x方

向或

y方向只差一個(gè)步長(zhǎng)的點(diǎn)

(xk?1,yj)和(xk,yj?1)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)

(xk,yj)的

相鄰節(jié)點(diǎn)。如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于則內(nèi)點(diǎn)，正內(nèi)點(diǎn)的全體記為

???，稱(chēng)為正

???

?(1)，至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于

的內(nèi)點(diǎn)稱(chēng)為非正則內(nèi)點(diǎn)，非正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為求出第一邊值問(wèn)題在全體內(nèi)點(diǎn)上的數(shù)值解。

為簡(jiǎn)便，記

?(2)。問(wèn)題是要

(k,j)?(xk,yj)，

u(k,j)?u(xk,yj)，

fk,j?f(xk,yj)。對(duì)正則

(1)(k,j)??內(nèi)點(diǎn)，由二階中心差商公式

?u?x22(k,j)u(k?1,j)?u(k,j)u(k,j)?u(k?1,j)?2h(hh??uxh122?2u?y2

(k,j)u(k?1,j)?2u(k,j)?u(k?1,j)h(4)??ux4(x2h12u(k,j?1)?2u(k,j)?u(k,j?1)?2(4)??uy4(xk,yj2?12Poisson方程

?u?u??f(x,y)22?x?y22 在點(diǎn)

(k,j)處可表示為

u(k?1,j)?2u(k,j)?u(k?1,j)u(k,j?1)?2u(k,j)?u(k,?22h?

其中

h2(4)?2(4)2R(k,j)?ux4(xk??1h,yj)?ux4(xk,yj??2?)?O(h??1212

為其截?cái)嗾`差表示式，略去

R(k,j)，即得與方程相近似的差分方程

uk?1,j?2uk,j?uk?1,jh2?uk,j?1?2uk,j?uk,j?1?2?fk,j

式中方程的個(gè)數(shù)等于正則內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而未知數(shù)正則內(nèi)點(diǎn)處解

uk,j則除了包含

u的近似值外，還包含一些非正則內(nèi)點(diǎn)處u的近

u值作為該點(diǎn)上u似值，因而方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)。在非正則內(nèi)點(diǎn)處Poisson 方程的差分近似不能按上式給出，需要利用邊界條件得到。 邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡(jiǎn)單的兩種。 （1）直接轉(zhuǎn)移

用最接近非正則內(nèi)點(diǎn)的邊界點(diǎn)上的近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。

例如，點(diǎn)P(k,j)為非正則內(nèi)點(diǎn)，其最接近的邊界點(diǎn)為

值的

Q點(diǎn)，則有

uk,j?u(Q)??(Q)求出，其截?cái)嗾`差為O(h個(gè)數(shù)相等。

（2）線(xiàn)性插值

(k,j)??

上式可以看作是用零次插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處u的近似值，容易

??)。將上式代入，方程個(gè)數(shù)即與未知數(shù)

(2)這種方案是通過(guò)用同一條網(wǎng)格線(xiàn)上與點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)作線(xiàn)性插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)P(k,P相鄰的邊界點(diǎn)與

值的近似。由點(diǎn)

j)處uR與

T的線(xiàn)性插值確定

u(P)的近似值uk,j，得

u k,j其中d?RPhd??(R)??(T)

h?dh?d2O(h)。將其與方程相近似的差分，其截?cái)嗾`差為

方

程聯(lián)立，得到方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組，求解此方程 組可得Poisson方程第一邊值問(wèn)題的數(shù)值解。

上面所給出的差分格式稱(chēng)為五點(diǎn)菱形格式，

uk?1,j?2uk,j?uk?1,jh

實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常取

2?uk,j?1?2uk,j?uk,j?1?2?fk,jh??，此時(shí)五點(diǎn)菱形格式可化為

1(uk?1,j?uk?1,j?uk,j?1?uk,j?1?4uk,j)?fk,j 2h簡(jiǎn)記為

12hu?fk,jk,j ◇

其中◇

uk,j?uk?1,j?uk?1,j?uk,j?1?uk,j?1?4uk,j。

??2u?2u(x,y)???2?2?f(x,y)?y??x ?u(x,y)?lg[(1?x)2?y2]??????例1 用五點(diǎn)菱形格式求解拉普拉斯（Laplace）方程第一邊值問(wèn)題

1}。取h???。 其中??{(x,y)0?x,y?13

（0,0） (1,0) (2,0) (3,0) [解]網(wǎng)格中有四個(gè)內(nèi)點(diǎn)，均為正則內(nèi)點(diǎn)。由五點(diǎn)菱形格式，得方 程組

?1?h2??1?h2??1?h2?1?2?h(u2,1?u0,1?u1,2?u1,0?4u1,1)?0(u3,1?u1,1?u2,2?u2,0?4u2,1)?0(u2,2?u0,2?u1,3?u1,1?4u1,2)?0(u3,2?u1,2?u2,3?u2,1?4u2,2)?0 代入邊界條件

16??u1,0?lg9,??u?lg10,?0,19??u?lg25,?1,39?37?u3,1?lg,?9?其解為 u1,125u2,0?lg913u0,2?lg934u2,3?lg940u3,2?lg9，

?0.2756919u2,1?0.4603488，

u1,2?0.3467842當(dāng)

，u2,2?0.5080467時(shí)

，

對(duì)

h??1(uk?1,j?uk?1,j?uk,j?1?uk,j?1?4uk,j)?fk,j2 h利用點(diǎn)(k,式，稱(chēng)為五點(diǎn) 矩形格式，簡(jiǎn)記為

j)，(k?1,j?1)，(k?1,j?1)構(gòu)造的差分格

其

12h2□

uk,j?fk,j

□

中

uk,j?uk?1,j?1?uk?1,j?1?uk?1,j?1?uk?1,j?1?4uk,j，其

截?cái)嗾`差為

h??u?u?u?4R(k,j)???6??O(h)?O4244?12??x?x?y?y?(k,j)

2O(h)，稱(chēng)它們具有 五點(diǎn)菱形格式與矩形格式的截?cái)嗾`差均為

2444二階精度。如果用更多的點(diǎn)構(gòu)造差分格式，其截?cái)嗾`差的階數(shù)可

以提高，如利用菱形格式及矩形格式所涉及的所有節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的 九點(diǎn)格式就是具有四階精度的差分格式。

§3 拋物型方程的差分解法

以一維熱傳導(dǎo)方程

?u?u?a2?0?t?x2(a?0)

為基本模型討論適用于拋物型方程定解問(wèn)題的幾種差分格式。

3.1 差分格式的建立

首先對(duì)

xt平面進(jìn)行網(wǎng)格剖分。分別取h,?為x方向與

t方向

的步長(zhǎng)，用兩族平行直線(xiàn)

x?xk?kh(k?0,?1,?2,)，

平面剖分成矩形網(wǎng)格，節(jié)點(diǎn)

t?tj?j?(j?0,1,2?)，將xt為(xk,tj)(k?0,?1,?2,,j?0,1,2)。為

，

簡(jiǎn)便，記

(k,j)?(xk,tj)，

u(k,j)?u(xk,tj)，，

?k??(xk)g1j?g1(tj)g2j?g2(tj),?1j??1(tj),?2j??2(tj)。

（一）微分方程的差分近似

在網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)

(k,j)處，對(duì)

?(k,j)?u?t分別采用向前、向后及中心差商公式

?u?t?u?t?u?tu(k,j?1)?u(k,j)?u(k,j)?u(k,j?1)?O(?)?O(?)

?(k,j)?(k,j)u(k,j?1)?u(k,j?1)??O(?2)2?一維熱傳導(dǎo)方程

?u?2u?a?02?t?x可分別表示為

(a?0)

u(k,j?1)?u(k,j)?

u(k?1,j)?2u(k,j)?u(k?1,j)?a?O(??2hu(k,j?1)?u(k,j?1)u(k?1,j)?2u(k,j)?u(k?1,j)?a?O(??2?h

u(k,j?1)?u(k,j?1)u(k?1,j)?2u(k,j)?u(k?1,j)22?a?O(??h22?h

由此得到一維熱傳導(dǎo)方程的不同差分近似

uk,j?1?uk,j?

?auk?1,j?2uk,j?uk?1,jh2?0

uk,j?uk,j?1?

?auk?1,j?2uk,j?uk?1,jhh2?0

uk,j?1?uk,j?12??auk?1,j?2uk,j?uk?1,j2?0

2O(??h)，上述差分方程所用到的節(jié)點(diǎn)各不相同。其截?cái)嗾`差分別為

O(??h2)和O(?2?h2)。因此，它們都與一維熱傳導(dǎo)方程相容。

如果將式

u(k,j?1)?u(k,j?1)u(k?1,j)?2u(k,j)?u(k?1,j)2?a?O(?2?h2

1(uk,j?1?uk,j?1)代替，則可得到又一種差分近似

中的uk,j用

2

uk,j?1?uk,j?12??auk?1,j?uk,j?1?uk,j?1?uk?1,jh2?0

差分方程用到四個(gè)節(jié)點(diǎn)。由Taylor公式容易得出

uk,j1?(uk,j?1?uk,j?1)?O(?2)

2O(?22???h2)?O??h2?故其的截?cái)嗾`差為

???。因而不是對(duì)任意的?h,??0，

此差分方程都能逼近熱傳導(dǎo)方程

?u?2u?a?02?t?x僅當(dāng)

(a?0)，

??o(h)時(shí)，才成立。

綜上可知，用不同的差商公式可以得到微分方程的不同的差

分近似。構(gòu)造差分格式的關(guān)鍵在于使其具有相容性、收斂性和穩(wěn) 定性。前面三個(gè)方程都具有相容性，而此方程則要在一定條件下 才具有相容性。

（二）初、邊值條件的處理

為用差分方法求解定解問(wèn)題初值問(wèn)題

2??u?u??a2?0?x??t?u(x,0)??(x)?t?0,???x??????x???

初邊值問(wèn)題

??u?2u??t?a?x2?00?t?T,0?x?l???u(x,0)??(x)0?x?l?u(0,t)?g(t),u(l,t)?g(t)0?t?T12???

還需對(duì)定解條件進(jìn)行離散化。

對(duì)初始條件及第一類(lèi)邊界條件，可直接得到

uk,0?u(xk,0)??k或 k?0,1,

(k?0,?1,,n)

u0,j?u(0,tj)?g1j

un,j?u(l,tj)?g2j

(j?0,1,?,m?1)

lTn?,m?其中

h?對(duì)第二、三類(lèi)邊界條件

??u???x??1(t)u?????u???2(t)u????x?0?t?T

x?0?g1(t)?g2(t)

x?l需用差分近似。下面介紹兩種較簡(jiǎn)單的處理方法。 （1）

在左邊界(x在右邊界

?0)處用向前差商近似偏導(dǎo)數(shù)

?u?x?u?x，

(x?l)處用向后差商近似

?u?x?u?x，即

(0,j)u(1,j)?u(0,j)??O(h)hu(n,j)?u(n?1,j)??O(h)h

(n,j)(j?0,1,?,m)

則得邊界條件的差分近似為

?u1,j???u ?n,j??其截?cái)嗾`差為

?u0,jh?un?1,jh??1ju0,j?g1j??2jun,j?g2j

(j?0,1,?,m)

O(h)。

?u?x,即

（2）用中心差商近似

?uu(1,j)?u(?1,j)??O(h2)?x(0,j)2h?uu(n?1,j)?u(n?1,j)??O(h2)?x(n,j)2h

(j?0,1,?,m)

則得邊界條件的差分近似為

?u1,j?u?1,j??1ju0,j?g1j??2h??un?1,j?un?1,j??u2jn,j?g2j?h?

(j?0,1,?,m)

2O(h)。誤差的階數(shù)提高了，但出現(xiàn)定解區(qū)域外的 其截?cái)嗾`差為

,節(jié)點(diǎn)(?1j)和(n?1,j)，這就需要將解拓展到定解區(qū)域外。可以通

過(guò)用內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的

u值插值求出

u?1,j和un?1,j，也可以假定熱傳導(dǎo)方

程在邊界上也成立，將差分方程擴(kuò)展到邊界節(jié)點(diǎn)上，由此消去u?1,j

和

un?1,j。

（三）幾種常用的差分格式

以熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題

??u?2u??t?a?x2?00?t?T,0?x?l???u(x,0)??(x)0?x?l?u(0,t)?g(t),u(l,t)?g(t)0?t?T12???

為例給出幾種常用的差分格式。

（1）古典顯式格式

令

a?r?2h，則

uk,j?1?uk,j?可

?auk?1,j?2uk,j?uk?1,jh改

2?0

成

寫(xiě)

uk,j?1?ruk?1,j?(1?2r)uk,j?ruk?1,j

將其與初始條件及第一類(lèi)邊界條件

uk,0?u(xk,0)??k或 k?0,1,

(k?0,?1,,n)

u0,j?u(0,tj)?g1j

un,j?u(l,tj)?g2j

(j?0,1,?,m?1)

結(jié)合，我們得到求解此問(wèn)題的一種差分格式

?uk,j?1?ruk?1,j?(1?2r)uk,j?ruk?1,j(k?1,2,?,n?1,j?0,1,?,m??(k?0,1,?,n)?uk,0??k?u?g,u?g(j?0,1,?,m)1jn,j2j?0,j

由于第0層

(j?0)上節(jié)點(diǎn)處的u值已知(uk,0??k)，由此即可算出

u在

第一層

(j?1)上節(jié)點(diǎn)處的近似值uk,1。重復(fù)使用此式，可以逐層計(jì)

算出所有的

uk,j，因此此差分格式稱(chēng)為古典顯式格式。又因式中

式

只出現(xiàn)相鄰兩個(gè)時(shí)間層的節(jié)點(diǎn)，故此式是二層顯式格式。 （2）古典隱式格式

將

uk,j?uk,j?1??auk?1,j?2uk,j?uk?1,jh2?0

整理并與初始條件及第一類(lèi)邊界條件式聯(lián)立，得差分格式如下

?uk,j?1?uk,j?r(uk?1,j?1?2uk,j?1?uk?1,j?1)(k?1,2,,n?1,j?0,?(k?0,1,,n)?uk,0??k?u?g,u?g(j?0,1,,m)?0,j1jn,j2j

a?r?2其中

h。雖然第0層上的

u值仍為已知，但不能由上式直

接計(jì)算以上各層節(jié)點(diǎn)上的值

uk,j，必須通過(guò)解下列線(xiàn)性方程組

uk,j?1?r(uk?1,j?1?2uk,j?1?uk?1,j?1)??ruk?1,j?1?(1?2r)uk,j?1?ruk?1,j?

?r?1?2r??r1?2r???????0??

???r0???????r1?2r?r??r1?2r??0?u1,j?1??u1,j?rg?u??u2,j?12,j??????????un?2,?un?2,j?1???un?1,j?1??un?1,j?rg??? (j?0,1,?,m?1)

才能由

uk,j計(jì)算uk,j?1，故此差分格式稱(chēng)為古典隱式格式。此方程

組是三對(duì)角方程組，且系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故解存在唯一。

（3）Richardson格式

Richardson格式是將式

uk,j?1?uk,j?12?

?auk?1,j?2uk,j?uk?1,jh2?0整理后與初始條件及第一類(lèi)邊界條件式聯(lián)立。其計(jì)算公式為

?uk,j?1?uk,j?1?2r(uk?1,j?2uk,j?uk?1,j)(k?1,2,?,n?1,?(k?0,1,?,n)?uk,0??k?u?g,u?g(j?0,1,?,m)0,j1jn,j2j?

這種差分格式中所涉及的節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在

j?1,j,j?1三層上，故為三層

顯式格式。Richardson格式是一種完全不穩(wěn)定的差分格式，因此它在實(shí)際計(jì)算中是不能采用的。

（4）杜福特-弗蘭克爾（DoFort-Frankel）格式

DoFort-Frankel格式也是三層顯式格式，它是由式

uk,j?1?uk,j?12?

?auk?1,j?uk,j?1?uk,j?1?uk?1,jh2?與初始條件及第一類(lèi)邊界條件式結(jié)合得到的。具體形式如下：

2r1?2r??uk,j?1?1?2r(uk?1,j?uk?1,j)?1?2ruk,j?1(k?1,2,?,n??(k?0,1,?,n)?uk,0??k?u?g,u?g(j?0,1,?,m)0,j1jn,j2j??

用這種格式求解時(shí)，除了第0層上的值

uk,0由初值條件得到，必

須先用二層格式求出第1層上的值

uk,1，然后再按上式逐層計(jì)

算

uk,j(j?2,3,?,m)。

（5）六點(diǎn)隱式格式

對(duì)二階中心差商公式

?2u2?x

(k,j)u(k?1,j)?2u(k,j)?u(k?1,j)?2h?u如果用

?x2均值

2在點(diǎn)

(k,j?1)與點(diǎn)(k,j)處的二階中心差商的平

近似

?2u?x21(k,j?)處的值，即 在

2?u?x2

2?1(k,j?)2uk?1,j?1?2uk,j?1,?uk?1,j?1?uk?1,j?2uk,j?u2h2同時(shí)

?u?t1(k,j?)處的值也用中心差商近似，即 在點(diǎn)

21(k,j?)2這樣又得到熱傳導(dǎo)方程的一種差分近似

?u ?x?uk,j?1?uk,j?

uk,j?1?uk,j?

a?2(uk?1,j?1?2uk,j?1,?uk?1,j?1?uk?1,j?2uk,2h22O(??h)，將上式與初始條件及第一類(lèi)邊界條件式 其截?cái)嗾`差為

聯(lián)立并整理，得差分格式

rr??uk,j?1?uk,j?2(uk?1,j?1?2uk,j?1?uk?1,j?1)?2(uk?1,j?2uk,j?uk??(k?1,2,,n?1,j?0,1,,m?1)??uk,0??k(k?0,1,,n)?(j?0,1,,m)??u0,j?g1j,un,j?g2j

此格式涉及到六個(gè)節(jié)點(diǎn)，它又是隱式格式，故稱(chēng)為六點(diǎn)隱式格式。與古典隱式格式類(lèi)似，用六點(diǎn)格式由第

j層的值uk,j計(jì)算第j?1

層的值uk,j?1時(shí)，需求解三對(duì)角方程組

??1?r?r/20???r/21?r?r/20????????????0?r/21?r?r/2?????r/21?r??

(j?0,1,?,m?1)

此方程組的系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故仍可用追趕法求解。

例2 用古典顯式格式求初邊值問(wèn)題

???u?2?u?00?t?3,0?x?3???t?x2?u(x,0)?x20?x?3 ??u(0,t)?0,u(3,t)?90?t?3 ??的數(shù)值解，取

h?1,??0.5。

[解] 這里

a?1,r?a?h2?0.5，

?(x)?x2，

??u1,j?1??u?2,j?1?????u?n?2,j?1???un?1,j?1??g1(t)?0,g2(t)?9。由格式

?uk,j?1?ruk?1,j?(1?2r)uk,j?ruk?1,j(k?1,2,?,n?1,?(k?0,1,?,n)?uk,0??k?u?g,u?g(j?0,1,?,m)1jn,j2j?0,j

可得到

?uk,j?1?0.5(uk?1,j?uk?1,j)?22?uk,0?xk?k?u?0,u?93,j?0,j 將初值

(k?1,2,j?0,1,?,5)(k?0,1,2,3)(j?0,1,?,6)uk,0代入上式，即可算出

u1,1?0.5?(u2,0?u0,0)?0.5?(4?0)?2 u2,1?0.5?(u3,0?u1,0)?0.5?(9?1)?5

將邊界條件

u0,1?0，u3,1?9及上述結(jié)果代入又可求得

u0,2?0,u1,2?2.5,u2,2?5.5,u3,2?9

如此逐層計(jì)算，得全部節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值解為

u0,3?0,u1,3?2.75,u2,3?5.75,u3,3?9,u0,4?0,

§4 雙曲型方程的差分解法

對(duì)二階波動(dòng)方程

2?2u?u2?a22?t?x

?uv?如果令1?t組

?uv2?，?x，則方程可化成一階線(xiàn)性雙曲型方程

??v12?v2??t?a?x???v2?v1 ????x??t記

v?(v1,v2)T，則方程組可表成矩陣形式

2???v0a?v?v???A? ?t ?x?x10??矩陣

A有兩個(gè)不同的特征值???a，故存在非奇異矩陣P，使得

?a0?PAP????

??0?a??1作變換

w?Pv?(w1,w2)T，方程組可化為

?w?w???t?x

方程組由二個(gè)的一階雙曲型方程聯(lián)立而成。因此本節(jié)主要討 論一階雙曲型方程的差分解法。

4.1幾種簡(jiǎn)單的差分格式

考慮一階雙曲型方程的初值問(wèn)題

?u??u?a?0??x??t?u(x,0)??(x)? 將網(wǎng)

t?0,???x??????x???xt平面剖分成矩形網(wǎng)格，取x方向步長(zhǎng)為h,t方向步長(zhǎng)為?，

格

線(xiàn)

為

x?xk?kh(k?0,?1,?2,)，

t?tj?j?(j?0,1,2?)。為簡(jiǎn)便，記

(k,j)?(xk,tj)，u(k,j)?u(xk,tj),?k??(xk)。

以不同的差商近似偏導(dǎo)數(shù)，可以得到方程的不同的差分近似

uk,j?1?uk,j

?huk,j?1?uk,juk,j?uk?1,j?a?0

?huk,j?1?uk,j

?auk?1,j?uk,j?0

??auk?1,j?uk?1,j2h?0

2O(??h)O(??h)O(??h)。結(jié)合離散截?cái)嗾`差分別為，與

化的初始條件，可以得到幾種簡(jiǎn)單的差分格式

??uk,j?1?uk,j?ar(uk?1,j?uk,j)???uk,0??k

(k?0,?1,?2,?,j?0,1,2,?)??uk,j?1?uk,j?ar(uk,j?uk?1,j)???uk,0??k

(k?0,?1,?2,?,j?0,1,2,?)ar??uk,j?1?uk,j?(uk?1,j?uk?1,j)(k?0,?1,?2,,j?0,1,2,)2??uk,0??k?

其中

r??h。如果已知第

j層節(jié)點(diǎn)上的值

uk,j，按上面三種格式就

可求出第

j?1層上的值uk,j?1。因此，這三種格式都是顯式格式。

?u?t 如果對(duì)

?u采用向后差商，?x采用向前差商，則方程可化成

u(k,j)?u(k,j?1)u(k?1,j)?u(k,j)?a?O(??h)?0?h

相應(yīng)的差分格式為

??uk,j?1?uk,j?ar(uk?1,j?1?uk,j?1)???uk,0??k

(k?0,?1,?2,?,j?0,1,2,?)此差分格式是一種隱式格式，必須通過(guò)解方程組才能由第

j層節(jié)

uu點(diǎn)上的值k,j求出第j?1層節(jié)點(diǎn)上的值k,j?1。

例對(duì)初值問(wèn)題

??u?u?0????t?x?u(x,0)??(x)?t?0,???x??????x??? 其中

?1x?0?1??(x)??x?0 ?2??0x?0用差分格式求其數(shù)值解

uk,j(j?1,2,3,4)，取

1r??h2 [解] 記

?。

xk?kh(k?0,?1,?2,?)，由初始條件

?k?1k??1,?2,??1???(xk)??k?0 ?2??0k?1,2,?按差分格式

??uk,j?1?uk,j?ar(uk?1,j?uk,j)???uk,0??k

(k?0,?1,?2,?,j?0,1,2計(jì)算公式為

uk,j?131?uk,j?uk?1,j

22計(jì)算結(jié)果略。

如果用差分格式

??uk,j?1?uk,j?ar(uk,j?uk?1,j)???uk,0??k

求解，計(jì)算公式為

(k?0,?1,?2,?,j?0,1,2uk,j?1計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表略。

1?(uk,j?uk?1,j)

2?1x?t?1?u(x,t)??x?t2?與準(zhǔn)確解 ??0x?0比較知，按前一個(gè)差分格式所求得的數(shù)值解不收斂到初值問(wèn)題

的解，而后一個(gè)差分格式的解收斂到原問(wèn)題的解。