一、考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 兩個(gè)函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。 二、熱點(diǎn)題型分析

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)?x?3x?2在區(qū)間??1,1?上的最大值是 2 1．

22．已知函數(shù)y?f(x)?x(x?c)在x?2處有極大值，則常數(shù)c＝ 6 ；

33．函數(shù)y?1?3x?x有極小值 －1 ,極大值 3

題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程

3??1,?3?處的切線方程是 y?x?2 y?4x?x1．曲線在點(diǎn)

42．若曲線f(x)?x?x在P點(diǎn)處的切線平行于直線3x?y?0，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1，0）

4y?x3．若曲線的一條切線l與直線x?4y?8?0垂直，則l的方程為 4x?y?3?0

4．求下列直線的方程：

322 （1）曲線y?x?x?1在P(-1,1)處的切線； （2）曲線y?x過(guò)點(diǎn)P(3,5)的切線；

32 ?y/?3x2?2x ?k?y/|x?－1?3－2?1 解：（1）?點(diǎn)P(?1,1)在曲線y?x?x?1上，

， 即x?y?2?0 所以切線方程為y?1?x?1 / （2）顯然點(diǎn)P（3，5）不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為A(x0,y0)，則y0?x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y?2x，

2所以過(guò)

2x0?A(x0,y0)點(diǎn)的切線的斜率為

k?y/|x?x0?2x0，又切線過(guò)A(x0,y0)、P(3,5)點(diǎn)，所以有

y0?5x0?3?x0?1?x0?5?y?1 或 ?y?25?0②，由①②聯(lián)立方程組得，?0，即切點(diǎn)為（1，1）時(shí)，切線斜率為

k1?2x0?2;；當(dāng)切點(diǎn)為（5，25）時(shí)，切線斜率為k2?2x0?10；所以所求的切線有兩條，方程分

即y?2x?1 或y?10x?25 別為y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5)，

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值

32f(x)?x?ax?bx?c,過(guò)曲線y?f(x)上的點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為y=3x+1 1．已知函數(shù)

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（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x??2處有極值，求f(x)的表達(dá)式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)y?f(x)在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍

322?f(x)?x?ax?bx?c,求導(dǎo)數(shù)得f(x)?3x?2ax?b. 解：（1）由

過(guò)y?f(x)上點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為：

y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1).

而過(guò)y?f(x)上P[1,f(1)]的切線方程為y?3x?1.

?3?2a?b?3?故?a?c??3?2a?b?0即??a?c??3

① ②

?∵y?f(x)在x??2時(shí)有極值,故f(?2)?0,??4a?b??12 ③

32f(x)?x?2x?4x?5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴

2?（2）f(x)?3x?4x?4?(3x?2)(x?2).

2?3?x??2時(shí),f?(x)?0;當(dāng)?2?x?時(shí),f?(x)?0;3當(dāng)

2當(dāng)?x?1時(shí),f?(x)?0.?f(x)極大?f(?2)?133 又f(1)?4,?f(x)在[－3，1]上最大值是13。

2?f(x)?3x?2ax?b,由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上單調(diào)遞增，又

2??依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3x?bx?b?0.

x?①當(dāng)

b?1時(shí),f?(x)min?f?(1)?3?b?b?0,?b?66； b??2時(shí),f?(x)min?f?(?2)?12?2b?b?0,?b??6；

x?②當(dāng)

612b?b2?2??1時(shí),f?(x)min??0,則0?b?6.b12③當(dāng)

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,??)

322．已知三次函數(shù)f(x)?x?ax?bx?c在x?1和x??1時(shí)取極值，且f(?2)??4．

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(1) 求函數(shù)y?f(x)的表達(dá)式； (2) 求函數(shù)y?f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3) 若函數(shù)g(x)?f(x?m)?4m(m?0)在區(qū)間[m?3,n]上的值域?yàn)閇?4,16]，試求m、n應(yīng)滿足的條件．

?(x)?3x2?2ax?bf解：(1) ，

2由題意得，1,?1是3x?2ax?b?0的兩個(gè)根，解得，a?0,b??3．

3f(x)?x?3x?2． f(?2)??4c??2再由可得．∴

?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)f(2) ，

??當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?0；當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?0； ??當(dāng)?1?x?1時(shí)，f(x)?0；當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?0；

?當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(??,?1]上是增函數(shù)； ]上是減函數(shù)；在區(qū)間[1,??)上是增函數(shù)． 在區(qū)間[?1,１函數(shù)f(x)的極大值是f(?1)?0，極小值是f(1)??4．

(3) 函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個(gè)單位，向上平移4m個(gè)單位得到的， 所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[?3,n?m]上的值域?yàn)閇?4?4m,16?4m]（m?0）． 而f(?3)??20，∴?4?4m??20，即m?4．

于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間[?3,n?4]上的值域?yàn)閇?20,0]． 令f(x)?0得x??1或x?2．由f(x)的單調(diào)性知，?1n?4綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m?4，且3

3．設(shè)函數(shù)f(x)?x(x?a)(x?b)．

（1）若f(x)的圖象與直線5x?y?8?0相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為２，且f(x)在x?1處取極值，求實(shí)數(shù)a,b 的值；

2，即3

n6．

n6．

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（2）當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．

?解：（1）f(x)?3x?2(a?b)x?ab.

2??由題意f(2)?5,f(1)?0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2?3x?2(a?1)x?a?0. 令f(x)?0得方程（2）當(dāng)b=1時(shí)，

2??4(a?a?1)?0,故方程有兩個(gè)不同實(shí)根x1,x2． 因

''f(x)?3(x?x)(x?x)fx?x122，由不妨設(shè)1可判斷(x)的符號(hào)如下： '''f(x)f(x)f(x)＞０ x?x時(shí)，x?x?x時(shí)，x?x時(shí)，1122當(dāng)＞０；當(dāng)＜０；當(dāng)

因此x1是極大值點(diǎn)，x2是極小值點(diǎn)．，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1．如右圖：是f（x）的導(dǎo)函數(shù)， (x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（ D ）

（A） （B） （C） （D） 2．函數(shù)

6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 x -4 -2 y 6 4 2 y 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4 x y y?13x?4x?1的圖像為3( A )

o 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4

323．方程2x?6x?7?0在(0,2)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為 ( B )

A、0 B、1 C、2 D、3

題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

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1f(x)??x3?2ax2?3a2x?b,0?a?1.31．設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.

?（2）若當(dāng)x?[a?1,a?2]時(shí)，恒有|f(x)|?a，試確定a的取值范圍.

22x?a,x2?3a??f(x)??x?4ax?3a解：（1）=?(x?3a)(x?a)，令f(x)?0得1

列表如下：

x （-∞，a） a

（a，3a） 3a +

0 極大

（3a，+∞） -

f?(x) f(x)

-

0 極小

∴f(x)在（a，3a）上單調(diào)遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調(diào)遞減

4f極小(x)?b?a3x?a時(shí)，3，x?3a時(shí)，f極小(x)?b

22?f(x)??x?4ax?3a（2）∵0?a?1，∴對(duì)稱(chēng)軸x?2a?a?1，

?∴f(x)在[a+1，a+2]上單調(diào)遞減

∴

???(a?1)2?4a(a?1)?3a2?2a?1fMax，

???(a?2)2?4a(a?2)?3a2?4a?4fmin

?|?a|f?|?a|fmin?依題|f(x)|?a?Max， 即|2a?1|?a,|4a?4|?a

44?a?1[,1)解得5，又0?a?1 ∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時(shí)都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間 （2）若對(duì)x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范圍。 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f?（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

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x 22（－?，－3） －3 0 2（－3，1） － 1 （1，＋?） f?（x） ＋ f（x） ? 0 ＋ 極大值 ? 極小值 ? 22所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－?，－3）與（1，＋?），遞減區(qū)間是（－3，1）

1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，當(dāng)x＝－3時(shí)，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。 要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2

題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

311．已知平面向量a=(3,－1). b=(2,2).

（1）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y， 試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t) ；

(2) 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)－k=0的解的情況. 解：(1)∵x⊥y，∴x?y=0 即[a+(t2-3) b]·(-ka+tb)=0. 整理后得-ka+[t-k(t2-3)] a?b+ (t2-3)·b=0

221∵a?b=0，a=4，b=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

2211(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= 4t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

33于是f′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f′(t)、f(t)的變化情況如下表： t f′(t) F(t) (-∞,-1) + ↗ -1 0 極大值 (-1,1) - ↘ 1 0 極小值 (1,+ ∞) + ↗ 1當(dāng)t=－1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.

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1當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=－2 1函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，

可觀察出：

11(1)當(dāng)k＞2或k＜－2時(shí),方程f(t)－k=0有且只有一解； 11(2)當(dāng)k=2或k=－2時(shí),方程f(t)－k=0有兩解； 11(3) 當(dāng)－2＜k＜2時(shí),方程f(t)－k=0有三解.

題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合

3a?0,函數(shù)f(x)?x?ax在[1,??)上是單調(diào)函數(shù). 1．設(shè)

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）設(shè)

x0f(x0)?x0f(f(x0))?x0≥1，f(x)≥1，且，求證：.

22???y?f(x)?3x?a,y?0,即a?3x,這??1,??f(x)解：（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須

樣的實(shí)數(shù)a不存在.故f(x)在?1,???上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).

2若f(x)在?1,???上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a≤3x， 2??x?1,??,故3x?3.從而0x?f(x0)（2）方法1、可知f(x)在?1,???上只能為單調(diào)增函數(shù). 若1≤0，則f(x0)?f(f(x0))?x0矛盾,只有

若1≤

f(x0)?x0,則f(f(x0))?f(x0),即x0?f(x0)矛盾，故

f(x0)?x0成立.

方法2：設(shè)

f(x0)?u,則f(u)?x0

，

3?x0?ax0?u,u3?au?x0,兩式相減得

32(x0?u3)?a(x0?u)?u?x0?(x0?u)(x0?x0u?u2?1?a)?0,?x022?x0?x0u?u2?3,又0?a?3?x0?x0u?u2?1?a?0≥1,u≥1，

，

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3f(x)?(x2?)(x?a)22．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)

（1）若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍 （2）若f'(?1)?0，（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

（Ⅱ）證明對(duì)任意的

x1、x2?(?1,0)，不等式

|f(x1)?f(x2)|?516恒成立

f(x)?x3?ax2?解：

333x?a?f'(x)?3x2?2ax?22，2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，?f'(x)?0有實(shí)數(shù)解

3933???4a2?4?3??0a2?（??，?2][2，??）22，所以a的取值范圍是22 ，

?3?2a?39931?0a??f'(x)?3x2?x??3(x?)(x?1)24，222， 11f'(x)?0,?1?x??2；由2

f'(?1)?0，

由f'(x)?0,x??1或

x??11(??,?1),(?,??)(?1,?)?f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22 ；單調(diào)減區(qū)間為

f(?1)?2514927f(?)?f(0)?8，f(x)的極小值為216，又8 2749m?8，最小值16

27495??81616

易知f(x)的最大值為

?f(x)在[?1，0]上的最大值

M??對(duì)任意x1,x2?(?1,0)，恒有

|f(x1)?f(x2)|?M?m?

題型八：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用

1．請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心o1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？ 解：設(shè)OO1為xm，則1?x?4

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2223?(x?1)?8?2x?x由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：，（單位：m）

6?故底面正六邊形的面積為：

333?(?(8?2x?x2)2228?2x?x)=24，（單位：m）

帳篷的體積為：

V（x）?3133(16?12x?x3)(8?2x?x2)[(x?1)?1]?3223（單位：m）

V（'x）?求導(dǎo)得

3(12?3x2)2。

（x）?0，解得x??2（不合題意，舍去）令V'，x?2， （x）?0，V（x）當(dāng)1?x?2時(shí)，V'為增函數(shù)； （x）?0，V（x）當(dāng)2?x?4時(shí)，V'為減函數(shù)。

∴當(dāng)x?2時(shí)，V（x）最大。

3答：當(dāng)OO1為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為163m。

2．統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/

y?小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：

13x3?x?8(0?x?120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

（I）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ （II）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

100?2.5解：（I）當(dāng)x?40時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了40小時(shí)，

13(?403??40?8)?2.5?17.580要耗沒(méi)128000（升）。

100（II）當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了x小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升， 131001280015h(x)?(x3?x?8).?x??(0?x?120),12800080x1280x4依題意得 x800x3?803h'(x)??2?(0?x?120).20x0x

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令h'(x)?0,得x?80.

當(dāng)x?(0,80)時(shí)，h'(x)?0,h(x)是減函數(shù)； 當(dāng)x?(80,120)時(shí)，h'(x)?0,h(x)是增函數(shù)。

?當(dāng)x?80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)?11.25.

因?yàn)閔(x)在(0,120]上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。

答：當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

題型九：導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合

a?(1．設(shè)平面向量

3113，?),b?(，).2222若存在不同時(shí)為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)s、t及實(shí)數(shù)k，使

x?a?(t2?k)b,y??sa?tb,且x?y，

（1）求函數(shù)關(guān)系式S?f(t)；

???上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍。 （2）若函數(shù)S?f(t)在?1，a?(解：（1）

3113,?),b?(,).a?b?1，a?b?02222

又x?y,x?y?0，得2?a?（t?k）（b??0，???sa?tb）即?sa?（tt2?k）b-（t?st2?sk）a?b?0。??s?（t2?k）t?0，故s?（ft）?t3?kt。

（2）

22f?（t）?3t2?k且f（t）在?1，???上是單調(diào)函數(shù)，

???0 則在?1,???上有f(t)?0或f（t）222?f(t)?0?3t?k?0?k?3t?k?(3t)min?k?3； 由

22?f(t)?0?3t?k?0?k?3t由。

因?yàn)樵趖∈?1,???上3t是增函數(shù)，所以不存在k，使k?3t在?1,???上恒成立。故k的取值范

22圍是k?3。

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