作者：韋玉球，劉立明

來源：《教育教學論壇》 2014年第49期

韋玉球1，劉立明2

（1.廣西外國語學院，廣西南寧530022；2.廣西師范學院，廣西南寧530023）

摘要：中學數(shù)學中求函數(shù)、幾何的最值是研究函數(shù)與幾何性質的一個極其重要的方面，盡管其嚴格的理論指導需要借助高等數(shù)學知識，但由于它涉及的知識面寬、方法靈活、應用廣泛、訓練思維能力的效果顯著，所以在高考和數(shù)學競賽中占有相當重要的地位。而配方法、均值不等式法、數(shù)形結合思想、單調性、判別式法、導數(shù)法、復數(shù)法、換元法以及線性規(guī)劃等都是求解數(shù)學最值問題的常用思想，它們不僅對于勾通代數(shù)，幾何與三角的內在聯(lián)系具有指導意義，而且更重要的是對發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維。完善學生的思維品質有著特殊的作用。本文對最值問題的某些解法作了綜合歸納，對加強知識的橫縱關系和有機聯(lián)系提出了一些建議。

關鍵詞：代數(shù)與幾何；最值問題；解題方法

中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）49-0203-03

基金項目：廣西研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目（JGY2014092）；2012年度新世紀廣西高等教育教學改革工程A類項目（2012JGA162）；2014年校級教學方法改革專項立項項目；2014年廣西師范學院新增博士授權教育學學科建設資助校級科研項目作者簡介：韋玉球（1981-），女，廣西都安人，研究生，研究方向：數(shù)學教育。

通訊作者：劉立明。

數(shù)學的核心就是問題的解決，在科學研究和生產實踐中，人們竭盡全力使耗量最少而成效最佳，因此最值問題是生產實踐、科學研究和日常生活中無法回避的現(xiàn)實問題，同時它又是中學數(shù)學的重要內容之一。對于最值問題的求解它沒有通用的方法，根據(jù)所求的問題背景不同，涉及的數(shù)學模型也就不同，進而求最值的方法一般需要進行選擇。求解最值的問題，要求學生有堅實的數(shù)學基礎，具有嚴謹、全面的分析問題和靈活、綜合解決問題的能力，中學數(shù)學的最值知識又是進一步學習大學數(shù)學中最值問題的基礎。

一、通過配方求最值

這是一種應用甚廣的基本方法，也是處理多元函數(shù)最值問題比較有效的方法。用配方法求最值問題的基本思路是設法將問題通過變式配成若干個完全平方式之和的形式，然后根據(jù)一元二次函數(shù)的單調性進行求解。

四、利用函數(shù)單調性求最值

先判明函數(shù)給定區(qū)間上的單調性，而后依據(jù)單調性求函數(shù)的最值。

1.對于一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等單調遞增或單調遞減的函數(shù)，若定義域的閉區(qū)間，如x∈[m，n]，則f（m）與f（n）中較大者為最大值，較小者為最小值。

評注：判別式法主要適用于可化為關于x的二次方程的函數(shù)，當x的范圍是R時，僅考慮Δ即可，當x的范圍非R時，還需要結合圖形另解不等式，不能擴大y的取值范圍。

六、利用換元法求最值

所謂換元就是變量替換，是指把一個數(shù)學式子中的某一些以另一些與此相關的量去替代，從而使該數(shù)學式子變得較為簡單或易于解決的化歸過程，其實質是數(shù)集到數(shù)集的映射化歸。主要有三角換元和代數(shù)換元兩種，用換元時要特別注意中間變量的取值范圍。

是數(shù)集到數(shù)集的映射化歸。主要有三角換元和代數(shù)換元兩種，用換元時要特別注意中間變量的取值范圍。

評注：換元的方法形式多種多樣，有的甚至涉及到多步換元或多種換元相互運用，我們要注意的是不管怎樣變換，其變換的取值范圍都不能改變。這種方法有助于我們把復雜的式子簡單化，利于我們求解。

七、結語

近幾年的高考題往往會在函數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何等知識的交匯點處命題，注重知識之間的交叉、滲透和綜合性。求函數(shù)的最值時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?。一般?yōu)先考慮配方法、數(shù)形結合法、函數(shù)單調性法和基本不等式法，然后再考慮其他各種特殊方法。在以上介紹的方法中，最簡單的方法是配方法和單調性法，最重要的方法是基本不等式法?？傊?，以上各種方法需要靈活應用，有些題目可用多種方法，只有熟練掌握各種方法才能在解題中做到得心應手，根據(jù)具體的題目選擇最好的方法。

參考文獻：

[1]李東升.配方法求最值[J].數(shù)理天地（初中版），2008，（01）：8-9.

[2]李海港，張傳法.利用均值不等式求最值的技巧[J].高中數(shù)學教與學，2006，（06）：16-17.

[3]趙建勛.淺談均值不等式的應用[J].楊州大學：高中數(shù)學教與學，2011，（3 ）：20-21.

[4]喻平.數(shù)學問題化歸理論與方法[M].桂林：廣西師范大學出版社，1998.

[5]李繼.構造解幾模型求函數(shù)最值（高二、高三）[J].數(shù)理天地（高中版），2005，（04）：10.

[6]金山.巧構函數(shù)證明不等式[J].福建師范大學：福建中學數(shù)學，2011，（3 ）：48.

[7]肖曉紅.導數(shù)在研究初等函數(shù)上的應用[J].才智，Intelligence，2009，（12）：148.

[8]劉嬌英.復數(shù)模最值問題的幾種解法[J].農業(yè)科技與信息，2008，（10）：67.

[9]毛艷春.三角函數(shù)最值的幾種解法[J].齊齊哈爾師范高等專科學校學報，2008，（5 ）：151.

[10]嚴淵.做一題會一類[J].福建師范大學：福建中學數(shù)學，2011，（2 ）：36-37.

[11]李士芳.解析幾何中的最值問題[N].北京工業(yè)職業(yè)技術學院學報，2009-04-25（5）.