8．1 基本立體圖形

第1課時 棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

1．空間幾何體的定義及分類

(1)定義：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．

(2)分類：常見的空間幾何體有多面體與旋轉(zhuǎn)體兩類． 2．空間幾何體 類別 定義 由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體 多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面旋轉(zhuǎn)體 內(nèi)的這條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體．這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸 3.棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征 結(jié)構(gòu)特征及分類 (1)有兩個面(底面)互相平行 結(jié)構(gòu)特棱柱 分類 續(xù) 表 征 (2)其余各面都是四邊形 (3)相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行 按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱… 記作棱柱 ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 圖形及記法 圖示 結(jié)構(gòu)特棱錐 分類 征 結(jié)構(gòu)特征及分類 (1)有一個面(底面)是多邊形 (2)其余各面(側(cè)面)都是有一個公共頂點的三角形 圖形及記法 按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐…… (1)上下底面互相平行，且是相似圖形 結(jié)構(gòu)特(2)各側(cè)棱延長線相交于一點 (或用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分多面體叫做棱臺) 由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截分類 得的棱臺分別為三棱臺、四棱臺、五棱臺…… ■名師點撥 (1)棱柱、棱錐、棱臺的關(guān)系

在運動變化的觀點下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(以

記作 棱臺ABCD-A′B′C′D′ 記作 棱錐S-ABCD 棱臺 征 三棱柱、三棱錐、三棱臺為例)．

(2)各種棱柱之間的關(guān)系 ①棱柱的分類

正棱柱（底面為正多邊形）

?直棱柱??

?一般的直棱柱棱柱?

?斜棱柱②常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

典型應(yīng)用1 棱柱的結(jié)構(gòu)特征

下列關(guān)于棱柱的說法： ①所有的面都是平行四邊形； ②每一個面都不會是三角形； ③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行； ④被平面截成的兩部分可以都是棱柱． 其中正確說法的序號是__________．

【解析】 ①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形； ②錯誤，棱柱的底面可以是三角形； ③正確，由棱柱的定義易知；

④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以正確說法的序號是③④.

【答案】 ③④

棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧

(1)扣定義：判定一個幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．

①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．

(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除．

典型應(yīng)用2

棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：

①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺； ②棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形； ③棱錐的側(cè)面只能是三角形；

④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； ⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐． 其中正確說法的序號是________．

【解析】 ①錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺．

②正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形． ③正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形． ④正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐． ⑤錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐． 所以正確說法的序號為②③④. 【答案】 ②③④

判斷棱錐、棱臺形狀的兩種方法

(1)舉反例法

結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．

(2)直接法 定底面 看側(cè)棱 典型應(yīng)用3 空間幾何體的平面展開圖

(1)水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、

上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是( )

棱錐 棱臺 只有一個面是多邊形，此面即為底面 兩個互相平行的面，即為底面 相交于一點 延長后相交于一點 A．1 C．快

B．9 D．樂

(2)如圖是三個幾何體的側(cè)面展開圖，請問各是什么幾何體？

【解】 (1)選B.由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，“1”與“樂”相對，“2”與“9”相對，“0”與“快”相對，所以下面是“9”．

(2)題圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，

符合棱柱的特點；題圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐的特點；題圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點，把側(cè)面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：

所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．

多面體展開圖問題的解題策略

(1)繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖．

(2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推，同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個平面展開圖．

圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

1．圓柱、圓錐、圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱的結(jié)構(gòu)特征

定義 以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體 軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸 圖示及相關(guān)概念 ■名師點撥 底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面 側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面 母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊 柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體 (1)圓柱有無數(shù)條母線，它們平行且相等．

(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓，如圖1所示． (3)過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形，如圖2所示． (4)過任意兩條母線的截面是矩形，如圖3所示．

(2)圓錐的結(jié)構(gòu)特征 定義 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體 軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸 圖示及相關(guān)概念 ■名師點撥 (1)圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點即圓錐的頂點，且長度相等． (2)平行于底面的截面都是圓，如圖1所示． (3)過軸的截面是全等的等腰三角形，如圖2所示． (4)過任意兩條母線的截面是等腰三角形，如圖3所示．

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面 側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面 母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊 錐體：圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體

(3)圓臺的結(jié)構(gòu)特征 定義 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分 軸：圓錐的軸 圖示及相關(guān)概念 ■名師點撥 (1)圓臺有無數(shù)條母線，且長度相等，延長后相交于一點． (2)平行于底面的截面是圓，如圖1所示． (3)過軸的截面是全等的等腰梯形，如圖2所示． (4)過任意兩條母線的截面是等腰梯形，如圖3所示．

底面：圓錐的底面和截面 側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面和截面之間的部分 母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分 臺體：圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體

(4)球的結(jié)構(gòu)特征 定義 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球 球心：半圓的圓心 半徑：半圓的半徑 直徑：半圓的直徑 圖示及相關(guān)概念 ■名師點撥 (1)球心和截面圓心的連線垂直于截面．

(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r有如下關(guān)系：r＝R2－d2.

2．簡單組合體 (1)概念

由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體． (2)兩種構(gòu)成形式

①由簡單幾何體拼接而成；

②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成． 典型應(yīng)用1

圓柱、圓錐、圓臺、球的概念

(1)給出下列說法： ①圓柱的底面是圓面；

②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；

③圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交； ④夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體． 其中說法正確的是________． (2)給出以下說法：

①球的半徑是球面上任意一點與球心所連線段的長； ②球的直徑是球面上任意兩點間所連線段的長； ③用一個平面截一個球，得到的截面可以是一個正方形； ④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形． 其中正確說法的序號是________．

【解析】 (1)①正確，圓柱的底面是圓面；②正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；③不正確，圓臺的母線延長相交于一點；④不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．

(2)根據(jù)球的定義知，①正確；②不正確，因為球的直徑必過球心；③不正

確，因為球的任何截面都是圓面；④正確．

【答案】 (1)①② (2)①④

(1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法 ①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成； ②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線． (2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用

①簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量；

②在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．

典型應(yīng)用2

簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的( )

【解析】 該幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成，故應(yīng)選A.

【答案】 A

[變條件、變問法]若將本例選項B中的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．

解：①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺；③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱，所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示．通過觀察可知，該幾何體是由一個圓錐、一個圓臺和一個圓柱自上而下拼接而成的．

不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的

結(jié)構(gòu)特征的分析策略

(1)分割：首先要對原平面圖形適當(dāng)分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本圖形．

(2)定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析． 典型應(yīng)用3

旋轉(zhuǎn)體中的計算問題

如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓

錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺O′O的母線長．

【解】 設(shè)圓臺的母線長為l cm，

由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè) 截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為r cm，4r cm.過軸SO作截面，如圖所示，

則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. SA′O′A′3r1所以SA＝OA，所以＝＝.

3＋l4r4解得l＝9，即圓臺O′O的母線長為9 cm.

解決旋轉(zhuǎn)體中計算問題的方法

用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面(經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面)的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程(組)而解得．

[注意] 在研究與截面有關(guān)的問題時，要注意截面與物體的相對位置的變化．由于相對位置的改變，截面的形狀也會隨之發(fā)生變化．

8．2 立體圖形的直觀圖

1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．

(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．

(3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．

2．空間幾何體直觀圖的畫法

(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸．

(2)直觀圖中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面． (3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．

(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線. ■名師點撥

(1)畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可．

(2)用斜二測畫法畫直觀圖要掌握水平長不變，垂線長減半，直角畫45°(或135°)．

典型應(yīng)用1

畫水平放置的平面圖形的直觀圖

畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．

【解】 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖①所示．

(2)畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′1

軸上截取O′D′＝2OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖②.

(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③.

畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項

(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖．

(2)畫圖時要注意原圖和直觀圖中線段的長度的關(guān)系是否發(fā)生變化． 典型應(yīng)用2

畫簡單幾何體的直觀圖

已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用

斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖．

【解】 (1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)畫下底面．以O(shè)為中點，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過G，H分別作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中點為G，CD的中點為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖．

(3)畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標(biāo)系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．

(4)連接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖(如圖②)．

畫空間圖形的直觀圖的原則

(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．

(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長1

度變?yōu)樵瓉淼?.

典型應(yīng)用3

直觀圖的還原與計算

如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD 的直觀圖．若A1D1

2

∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝3C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．

【解】 如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.

在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.在過

點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖)．

由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.

2＋3

所以面積為S＝2×2＝5.

(1)直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．

(2)直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系

2

若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝4S或S＝22S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形

面積．

柱、錐、臺的表面積和體積

1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和．

2．棱柱、棱錐、棱臺的體積

11(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱錐＝Sh；V棱臺＝h(S′＋SS′＋S)，其中S′，S分別是棱

33臺的上、下底面面積，h為棱臺的高．

3．圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積 名稱 圖形 公式 底面積：S底＝πr2 圓柱 側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl 表面積：S＝2πrl＋2πr2 體積：V＝πr2l 底面積：S底＝πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝πrl 圓錐 表面積：S＝πrl＋πr2 1體積：V＝3πr2h 上底面面積：S上底＝πr′2 下底面面積：S下底＝πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′) 圓臺 表面積： S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 體積： 1V＝3πh(r′2＋r′r＋r2) ■名師點撥 1．柱體、錐體、臺體的體積

(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh. 1

(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝3Sh.

1

(3)臺體：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝3(S′＋SS′＋S)h.

2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系 r′＝rr′＝0S圓柱側(cè)＝2πrl――→S圓臺側(cè)＝π(r′＋r)l――→S圓錐側(cè)＝πrl. 3．柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系

11S′＝SS′＝0V柱體＝Sh――→V臺體＝3(S′＋S′S＋S)h――→V錐體＝3Sh. 典型應(yīng)用1

柱、錐、臺的表面積

(1)若圓錐的正視圖是正三角形，則它的側(cè)面積是底面積的( ) A.2倍 C．2 倍

B．3 倍 D．5 倍

(2)已知正方體的 8 個頂點中，有 4 個為側(cè)面是等邊三角形的三棱錐的頂點，則這個三棱錐與正方體的表面積之比為( )

A．1∶2 C．2∶2

B．1∶3 D．3∶6

(3)已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的 3 倍，母線長為 3 ，圓臺的側(cè)面積為 84π，則該圓臺較小底面的半徑為( )

A．7 C．5

B．6 D．3

【解析】 (1)設(shè)圓錐的底面半徑為 r，母線長為 l，則由題意可知，l＝2r，于是 S側(cè)＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知選 C.

(2)棱錐 B′-ACD′為適合條件的棱錐，四個面為全等的等邊三角形，設(shè)正方體3的棱長為 1，則 B′C＝2，S△B′AC＝2.

3

三棱錐的表面積 S錐＝4×2＝23，

又正方體的表面積 S正＝6. 因此 S錐∶S正＝23∶6＝1∶3.

(3)設(shè)圓臺較小底面的半徑為 r，則另一底面的半徑為 3r.由 S側(cè)＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7.

【答案】 (1)C (2)B (3)A

空間幾何體表面積的求法技巧

(1)多面體的表面積是各個面的面積之和． (2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．

(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．

典型應(yīng)用2 柱、錐、臺的體積

如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截

下一個三棱錐．

(1)求剩余部分的體積；

(2)求三棱錐A-A1BD的體積及高．

1

【解】 (1)V三棱錐A1-ABD＝3S△ABD·A1A 111＝3×2·AB·AD·A1A＝6a3. 故剩余部分的體積

15

V＝V正方體－V三棱錐A1-ABD＝a3－6a3＝6a3. 1

(2)V三棱錐A-A1BD＝V三棱錐A1-ABD＝6a3. 設(shè)三棱錐A-A1BD的高為h， 1

則V三棱錐A-A1BD＝3·S△A1BD·h

113322

＝3×2×2(2a)h＝6ah， 31

故6a2h＝6a3， 3

解得h＝3a.

求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解．

(2)等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．

(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等．

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．

[提醒] 求幾何體的體積時，要注意利用好幾何體的軸截面(尤其為圓柱、圓錐時)，準(zhǔn)確求出幾何體的高和底面積．

典型應(yīng)用3

組合體的表面積和體積

如圖在底面半徑為 2，母線長為 4 的圓錐中內(nèi)接一個高為3的圓柱，

求圓柱的表面積．

【解】 設(shè)圓錐的底面半徑為 R，圓柱的底面半徑為 r，表面積為 S. 則 R＝OC＝2，AC＝4， AO＝42－22＝23. 如圖所示，

易知△AEB∽△AOC，

AEEB3r所以AO＝OC，即＝，所以 r＝1，

232

S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝23π. 所以 S＝S底＋S側(cè)＝2π＋23π ＝(2＋23)π.

1．[變問法]本例中的條件不變，求圓柱的體積與圓錐的體積之比． 解：由例題解析可知：圓柱的底面半徑為 r＝1，高 h＝3，所以圓柱的體積 V1＝πr2h＝π×12×3＝3π.

183

圓錐的體積 V2＝3π×22×23＝3π. 所以圓柱與圓錐的體積比為 3∶8.

2．[變問法]本例中的條件不變，求圖中圓臺的表面積與體積．

解：由例題解析可知：圓臺的上底面半徑 r＝1，下底面半徑 R＝2，高 h＝3，母線 l＝2，所以圓臺的表面積 S＝π(r2＋R2＋r·l＋Rl)＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.

1173

圓臺的體積 V＝3π(r2＋rR＋R2)h＝3π(12＋2＋22)×3＝3π.

3．[變條件、變問法]本例中的“高為3”改為“高為 h”，試求圓柱側(cè)面積的最大值．

解：設(shè)圓錐的底面半徑為 R，圓柱的底面半徑為 r， 則 R＝OC＝2，AC＝4， AO＝42－22＝23.

如圖所示易知△AEB∽△AOC， AEEB所以AO＝OC， 即

23－h(huán)r

＝2， 23

所以 h＝23－3r，

S圓柱側(cè)＝2πrh＝2πr(23－3r) ＝－23πr2＋43πr，

所以當(dāng) r＝1，h＝3時，圓柱的側(cè)面積最大，其最大值為 23π.

求組合體的表面積與體積的步驟

(1)分析結(jié)構(gòu)特征：弄清組合體的組成形式，找準(zhǔn)有關(guān)簡單幾何體的關(guān)鍵量． (2)設(shè)計計算方法：根據(jù)組成形式，設(shè)計計算方法，特別要注意“拼接面”面積的處理，利用“切割”“補形”的方法求體積．

(3)計算求值：根據(jù)設(shè)計的計算方法求值．

球的體積和表面積

1．球的表面積

設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2． 2．球的體積

4設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝3πR3． ■名師點撥

對球的體積和表面積的幾點認(rèn)識

(1)從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．

(2)由于球的表面不能展開成平面，所以，球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式的推導(dǎo)方法是不一樣的．

(3)球的表面積恰好是球的大圓(過球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍． 典型應(yīng)用1 球的表面積與體積

32π

(1)已知球的體積是3，則此球的表面積是( ) A．12π 16πC.3

B．16π πD.3 (2)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直28π

的半徑，若該幾何體的體積是3，則它的表面積是( )

A．17π C．20π

B．18π D．28π

【解析】 (1)設(shè)球的半徑為R，則由已知得 32π43

V＝3πR＝3，解得R＝2. 所以球的表面積S＝4πR2＝16π.

1

(2)由三視圖可得此幾何體為一個球切割掉8后剩下的幾何體， 設(shè)球的半徑為r， 7428

故8×3πr3＝3π，

73

所以r＝2，表面積S＝8×4πr2＋4πr2＝17π，選A. 【答案】 (1)B (2)A

球的體積與表面積的求法及注意事項

(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解．

(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點，計算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了．

典型應(yīng)用2 球的截面問題

如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，

容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為( )

A.

500π3

cm 3

B.

866π3

cm 3

C.

1 372π3

cm 3

D.

2 048π3

cm 3

【解析】 如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)， 11

BM＝2AB＝2×8＝4(cm)． 設(shè)球的半徑為R cm，則 R2＝OM2＋MB2 ＝(R－2)2＋42， 所以R＝5，

4500

所以V球＝3π×53＝3π (cm3)． 【答案】 A

球的截面問題的解題技巧

(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題．

(2)解題時要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.

典型應(yīng)用3

與球有關(guān)的切、接問題 角度一 球的外切正方體問題

將棱長為 2 的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為

( )

4πA.3 3πC.2

2πB.3 πD.6

【解析】 由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的4

直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為 2，故半徑為 1，其體積是3×4ππ×1＝3.

3

【答案】 A

角度二 球的內(nèi)接長方體問題

一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱

的長分別為 1，2，3，則此球的表面積為________．

【解析】 長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即 2R＝12＋22＋32＝14，

所以球的表面積 S＝4πR2＝14π. 【答案】 14π

角度三 球的內(nèi)接正四面體問題

若棱長為 a 的正四面體的各個頂點都在半徑為 R 的球面上，求球

的表面積．

【解】 把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長為 x，則 a＝2x，由題2a6

意 2R＝3x＝3×2＝2a，

3

所以 S球＝4πR2＝2πa2. 角度四 球的內(nèi)接圓錐問題

球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，

則該圓錐的體積和此球體積的比值為________．

【解析】 ①當(dāng)圓錐頂點與底面在球心兩側(cè)時，如圖所示，設(shè)球半徑為 r，r

則球心到該圓錐底面的距離是2，于是圓錐的底面半徑為

3r高為2.

14?3r?23r33

?×＝πr，球體積為πr3，該圓錐的體積為 3×π×?

283?2?338πr9

所以該圓錐的體積和此球體積的比值為4＝32.

3πr3

②同理，當(dāng)圓錐頂點與底面在球心同側(cè)時，該圓錐的體積和此球體積的比值3為32.

3r?r?2

??r－2＝2， ??

2

93

【答案】 32或32

角度五 球的內(nèi)接直棱柱問題

設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為 a，頂點都在一個球面

上，則該球的表面積為( )

A．πa2 11

C.3πa2

7

B.3πa2 D．5πa2

【解析】 由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為 a．如圖，P 為三棱柱上底面的中心，O 為球心，易2331

知 AP＝3×2a＝3a，OP＝2a，所以球的半徑 R＝ OA 滿足R27?3?2?1?272

＝?a?＋?2a?＝12a，故 S球＝4πR2＝3πa2.

???3?

【答案】 B

(1)正方體的內(nèi)切球

球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為 r1a

＝2，過在一個平面上的四個切點作截面如圖(1)．

(2)長方體的外接球

長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為 a，b，c，過1球心作長方體的對角線，則球的半徑為 r2＝2

a2＋b2＋c2，如圖(2)．

(3)正四面體的外接球

6

正四面體的棱長 a 與外接球半徑 R 的關(guān)系為：2R＝2a.

8．4.1 平 面

1．平面 (1)平面的概念

幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的．平面是向四周無限延展的．

(2)平面的畫法

我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面．當(dāng)水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向．

(3)平面的表示方法

我們常用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(nèi)；也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱．如圖中的平面α，也可以表示為平面ABCD、平面AC或者平面BD．

■名師點撥

(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量． (2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的． 2．點、線、面之間的關(guān)系及符號表示 A是點，l，m是直線，α，β是平面． 文字語言 A在l上 A在l外 A在α內(nèi) A在α外 符號語言 A∈l A?l A∈α A?α 圖形語言 l在α內(nèi) l在α外 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l ■名師點撥 l?α l?α l∩m＝A l∩α＝A α∩β＝l 從集合的角度理解點、線、面之間的關(guān)系

(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“? ”表示．

(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“? ”表示．

(3)直線與平面都是點集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．

3．平面的性質(zhì) 基本 事實 文字語言 圖形語言 符號語言 A，B，C三點不共線?存在唯一的平 面α使A，B，C∈α A∈l，B∈l，且A ∈α，B∈α? l?α 基本 事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 如果一條直線上的基本 事實2 兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi) 如果兩個不重合的基本 事實3 平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的 P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l 公共直線 ■名師點撥 在畫兩個相交平面時，如果其中一個平面的一部分被另一個平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立體感更強一些．如下圖①，圖②所示：

4．平面性質(zhì)的三個推論

推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．如圖(1)． 推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．如圖(2)． 推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．如圖(3)．

典型應(yīng)用1

圖形、文字、符號語言的相互轉(zhuǎn)化

(1)用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形．

平面ABD與平面BDC交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.

(2)將下面用符號語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．

α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.

【解】 (1)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用圖形表示如圖①所示．

(2)文字語言敘述為：點A在平面α與平面β的交線l上，直線AB，AC分別在平面α，β內(nèi)，圖形語言表示如圖②所示．

三種語言的轉(zhuǎn)換方法

(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言敘述，再用符號語言表示．

(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別． 典型應(yīng)用2

點、線共面問題

證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)． 【解】 已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3C.

求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 證明：法一：(納入平面法)

因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α. 因為l2∩l3＝B，所以B∈l2. 又因為l2?α，

所以B∈α.同理可證C∈α. 又因為B∈l3，C∈l3，所以l3?α. 所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 法二：(輔助平面法)

因為l1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個平面α. 因為l2∩l3＝B，

所以l2，l3確定一個平面β. 因為A∈l2，l2?α，所以A∈α. 因為A∈l2，l2?β，所以A∈β.

同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

所以不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)． 所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．

證明點、線共面的常用方法

(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)． (2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面

＝

β，最后證明平面α，β重合．

典型應(yīng)用3

三點共線、三線共點問題

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為

AB、AA1的中點．求證：CE，D1F，DA三線交于一點．

【證明】 連接EF，D1C，A1B， 因為E為AB的中點，

1

F為AA1的中點，所以EF∥═2A1B. 又因為A1B∥═D1C， 1所以EF∥═2D1C，

所以E，F(xiàn)，D1，C四點共面， 可設(shè)D1F∩CE＝P.

又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD， 所以點P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點． 又因為平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 所以據(jù)基本事實3可得P∈DA， 即CE，D1F，DA三線交于一點．

[變條件、變問法]若將本例條件中的“E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點”改成“E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M”，求證：點D、A、M三點共線．

證明：因為D1F∩CE＝M，

且D1F?平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA， 同理M∈平面BCDA， 從而M在兩個平面的交線上， 因為平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，

所以M∈AD成立．所以點D、A、M三點共線．

8．4.2 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1．空間中直線與直線的位置關(guān)系 (1)異面直線

①定義：把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線； ②畫法：(通常用平面襯托)

(2)空間兩條直線的位置關(guān)系

相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；?共面直線??

?平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點； ?

?異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.■名師點撥

(1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．

(2)不能把異面直線誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個不同的平面內(nèi)，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線．

2．空間中直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 直線a在 直線a在平面α外 平面α內(nèi) 直線a與平 面α相交 直線a與 平面α平行 沒有公共點 a∥α 公共點 符號表示 圖形表示 ■名師點撥 無數(shù)個公共點 a?α 有且只有 一個公共點 a∩α＝A 一般地，直線a在平面α內(nèi)時，應(yīng)把直線a畫在表示平面α的平行四邊形內(nèi)；直線a與平面α相交時，應(yīng)畫成直線a與平面α有且只有一個公共點，被平面α遮住的部分畫成虛線或不畫；直線a與平面α平行時，應(yīng)畫成直線a與表示平面α的平行四邊形的一條邊平行，并畫在表示平面α的平行四邊形外．

3．空間中平面與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 公共點 符號表示 圖形表示 ■名師點撥 (1)畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行．

(2)以后我們說到“兩條直線”均指不重合的兩條直線，“兩個平面”均指不重合的兩個平面．

典型應(yīng)用1

空間兩直線位置關(guān)系的判定

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直

線的位置關(guān)系：

①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________； ②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；

兩個平面平行 沒有公共點 α∥β 兩個平面相交 有無數(shù)個公共點(在一條直線上) α∩β＝l ③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________； ④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．

【解析】 經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點，所以③應(yīng)該填“相交”．

【答案】 ①平行 ②異面 ③相交 ④異面

(1)判定兩條直線平行或相交的方法

判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實4(下節(jié)學(xué)習(xí))判斷．

(2)判定兩條直線是異面直線的方法

①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)； ②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．

典型應(yīng)用2

直線與平面的位置關(guān)系

下列命題：

①直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α； ②若直線a在平面α外，則a∥α； ③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；

④若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線． 其中真命題的個數(shù)為( ) A．1 C．3

B．2 D．4

和這示為

【解析】 因為直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，所以l不一定平行于α，所以①是假命題．

因為直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交，所以a和α不

一定平行，所以②是假命題．

因為直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點，但a可能在平面α內(nèi)，所以a不一定平行于α，所以③是假命題．

因為a∥b，b?α，所以a?α或a∥α，所以a可以與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，所以④是真命題．

綜上，真命題的個數(shù)為1. 【答案】 A

判斷直線與平面的位置關(guān)系應(yīng)注意的問題

(1)在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，這三種情況都要考慮到，避免疏忽或遺漏．

(2)解決此類問題時，可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷．

典型應(yīng)用3

平面與平面的位置關(guān)系

已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行，那么

這兩個平面的位置關(guān)系一定是( )

A．平行 C．平行或相交

B．相交 D．以上都不對

【解析】 如圖，可能會出現(xiàn)以下兩種情況：

【答案】 C

1．[變條件]在本例中，若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關(guān)系如何？

解：如圖，a?α，b?β，a，b異面，則兩平面平行或相交．

2．[變條件]在本例中，若將條件改為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關(guān)系是什么？

解：如圖，α內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面β平行．

由圖知，平面α與平面β可能平行或相交．

3．[變條件]在本例中，若將條件改為平面α內(nèi)的任意一條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關(guān)系是什么？

解：因為平面α內(nèi)的任意一條直線與平面β平行，所以只有這兩個平面平行才能做到，所以平面α與平面β平行．

(1)平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法

①平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點； ②平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點． (2)常見的平面和平面平行的模型

①棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行； ②長方體的六個面中，三組相對面平行． 典型應(yīng)用4

點、線、面位置關(guān)系圖形的畫法

如圖所示，G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點，E，

F是棱AB，BC的中點，試分別畫出過下列各點、直線的平面與正方體表面的交線．

(1)過點G及AC. (2)過三點E，F(xiàn)，D1.

【解】 (1)畫法：連接GA交A1D1于點M，連接GC交C1D1于點N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．

(2)畫法：連接EF交DC的延長線于點P，交DA的延長線于點Q；連接D1P交CC1于點M，連接D1Q交AA1于點N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②所示．

直線與平面位置關(guān)系的圖形的畫法

(1)畫直線a在平面α內(nèi)時，表示直線a的線段只能在表示平面α的平行四邊形內(nèi)，而不能有部分在這個平行四邊形外．

(2)畫直線a與平面α相交時，表示直線a的線段必須有部分在表示平面α的平行四邊形之外，這樣既能與表示直線在平面內(nèi)區(qū)分開，又具有較強的立體感．

(3)畫直線a與平面α平行時，最直觀的畫法是用來表示直線a的線段在表示平面α的平行四邊形之外，且與此平行四邊形的一邊平行．

8．5.1 直線與直線平行

1．基本事實4

(1)平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞a∥b?

??a∥c. 性．(2)符號表示：

b∥c?

2．定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補． ■名師點撥

定理實質(zhì)上是由如下兩個結(jié)論組合成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行且方向都相同(或方向都相反)，則這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對應(yīng)邊方向相同，另一組對應(yīng)邊方向相反，

則這兩個角互補．

典型應(yīng)用1

基本事實4的應(yīng)用

如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求

證：四邊形B1EDF為平行四邊形．

【證明】 如圖所示，取DD1的中點Q，連接EQ，QC1. 因為E是AA1的中點，所以EQ∥═A1D1. 因為在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥═B1C1， 所以EQ∥═B1C1，

所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，所以B1E∥═C1Q. 又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點， 所以QD∥═C1F，

所以四邊形DQC1F為平行四邊形， 所以C1Q∥═FD.

又B1E∥═C1Q，所以B1E∥═FD， 故四邊形B1EDF為平行四邊形．

證明空間中兩條直線平行的方法

(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等)來證明．

(2)利用基本事實4即找到一條直線c，使得a∥c，同時b∥c，由基本事實4得到a∥b.

典型應(yīng)用2

定理的應(yīng)用

如圖所示，不共面的三條射線OA，OB，OC，點A1，

OA1OB1OC1

B1，C1分別是OA，OB，OC上的點，且OA＝OB＝OC.

求證：△A1B1C1∽△ABC.

OA1OB1

【證明】 在△OAB中，因為OA＝OB，所以A1B1∥AB. 同理可證A1C1∥AC，B1C1∥BC.

所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC.

運用定理判定兩個角是相等還是互補的途徑有兩種：一是判定兩個角的方向是否相同；二是判定這兩個角是否都為銳角或都為鈍角，若都為銳角或都為鈍角則相等，反之則互補．

8．5.2 直線與平面平行

1．直線與平面平行的判定定理 文字語言 符號語言 圖形語言 ■名師點撥 用該定理判斷直線a和平面α平行時，必須同時具備三個條件： (1)直線a在平面α外，即a?α. (2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α. (3)兩直線a，b平行，即a∥b. 2．直線與平面平行的性質(zhì)定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a?α，b?α，且a∥b?a∥α 文字語言 符號語言 圖形語言 ■名師點撥 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b (1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個： ①直線a與平面α平行，即a∥α；

②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b； ③直線a在平面β內(nèi)，即a?β. 以上三個條件缺一不可． (2)定理的作用： ①線面平行?線線平行； ②畫一條直線與已知直線平行．

(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．

典型應(yīng)用1

直線與平面平行的判定

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別

是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.

【證明】 連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，知EF∥BC1.

又AB∥═A1B1∥═D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形， 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1. 又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G， 所以EF∥平面AD1G.

應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟

上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有： ①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法； ②三角形中位線法； ③平行四邊形法； ④成比例線段法．

[提醒] 線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)

(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”． (2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線． 典型應(yīng)用2

線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，M是PC的中點，

在DM上取一點G，過點G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.

【證明】 如圖，連接AC，交BD于點O，連因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以點O是AC的中點． 又因為點M是PC的中點， 所以AP∥OM.

又因為AP?平面BDM，OM?平面BDM， 所以AP∥平面BDM.

因為平面PAHG∩平面BDM＝GH， AP?平面PAHG，所以AP∥GH.

接MO.

8.5.3 平面與平面平行

1．平面與平面平行的判定定理 文字語言 符號語言 圖形語言 ■名師點撥 (1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．

2．平面與平面平行的性質(zhì)定理 文字語言 符號語言 圖形語言 ■名師點撥 (1)用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件： ①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b. 以上三個條件缺一不可．

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α (2)已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．

(3)該定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面．

典型應(yīng)用1

平面與平面平行的判定

如圖所示，已知正方體ABCD(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD.

【證明】 (1)因為B1B∥═DD1， 所以四邊形BB1D1D是平行四邊形， 所以B1D1∥BD，又BD?平面B1D1C， B1D1?平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C. 又A1D∩BD＝D，

所以平面A1BD∥平面B1D1C. (2)由BD∥B1D1， 得BD∥平面EB1D1. 取BB1的中點G， 連接AG，GF， 易得AE∥B1G， 又因為AE＝B1G，

所以四邊形AEB1G是平行四邊形， 所以B1E∥AG.

易得GF∥AD，又因為GF＝AD， 所以四邊形ADFG是平行四邊形， 所以AG∥DF，所以B1E∥DF，

A1B1C1D1.

所以DF∥平面EB1D1. 又因為BD∩DF＝D， 所以平面EB1D1∥平面FBD.

1

[變條件]把本例(2)的條件改為“E，F(xiàn)分別是AA1與CC1上的點，且A1E＝4A1A”，求F在何位置時，平面EB1D1∥平面FBD?

1

解：當(dāng)F滿足CF＝4CC1時，兩平面平行，下面給出證明：

在D1D上取點M， 1

且DM＝4DD1， 連接AM，F(xiàn)M， 則AE∥═D1M，

從而四邊形AMD1E是平行四邊形． 所以D1E∥AM. 同理，F(xiàn)M∥═CD，

又因為AB∥═CD，所以FM∥═AB，

從而四邊形FMAB是平行四邊形．所以AM∥BF. 即有D1E∥BF.又BF?平面FBD， D1E?平面FBD， 所以D1E∥平面FBD.

又B1B∥═D1D，從而四邊形BB1D1D是平行四邊形．故而B1D1∥BD， 又BD?平面FBD，B1D1?平面FBD， 從而B1D1∥平面FBD， 又D1E∩B1D1＝D1， 所以平面EB1D1∥平面FBD.

證明面面平行的方法

(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面即可．

(2)判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．

典型應(yīng)用2

面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于點B，

A和D，C，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MN∥平面α.

【證明】 如圖，過點A作AE∥CD交α于點E，取AE的中點P，連接MP，PN，BE，ED，BD，AC.

因為AE∥CD，所以AE，CD確定平面AEDC.

則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因為α∥β，所以AC∥DE.

又P，N分別為AE，CD的中點，

所以PN∥DE，PN?α，DE?α，所以PN∥α. 又M，P分別為AB，AE的中點， 所以MP∥BE，且MP?α，BE?α. 所以MP∥α，因為MP∩PN＝P， 所以平面MPN∥α.

又MN?平面MPN，所以MN∥平面α.

1．[變條件]在本例中將M，N分別為AB，CD的中點換為M，N分別在線AMCN

段AB，CD上，且MB＝ND，其他不變．

證明：MN∥平面α.

證明：作AE∥CD交α于點E，連接AC，BD，如圖． 因為α∥β且平面AEDC與平面α，β的交線分別為ED，

AC，

所以AC∥ED，所以四邊形AEDC為平行四邊形，作NP∥DE交AE于點P，

CNAP

連接MP，BE，于是ND＝PE.

AMCNAMAP

又因為MB＝ND，所以MB＝PE，所以MP∥BE. 而BE?α，MP?α，所以MP∥α.同理PN∥α. 又因為MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α. 又MN?平面MPN，所以MN∥平面α.

2．[變條件、變問法]兩條異面直線與三個平行平面α，β，γ分別交于A，ABDE

B，C和D，E，F(xiàn)，求證：BC＝EF.

證明：連接AF交平面β于點M.

連接MB，ME，BE，AD，CF，因為α∥β， 所以ME∥AD. DEAM所以EF＝MF. 同理，BM∥CF， ABAM所以BC＝MF， ABDE即BC＝EF.

應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟

[提醒] 面面平行性質(zhì)定理的實質(zhì)：面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．與判定定理交替使用，可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化．

典型應(yīng)用3

平行關(guān)系的綜合問題

在正方體ABCD

A1B1C1D1中，如圖．

(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；

(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC.

【解】 (1)證明：因為在正方體ABCD所以四邊形AB1C1D是平行四邊形， 所以AB1∥C1D.

又因為C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD. 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD.

又因為AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.

(2)如圖，連接A1C1交B1D1于點O1，連接A1C，連接AO1與A1C交于點E.

又因為AO1?平面AB1D1，所以點E也在平面AB1D1內(nèi)，所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點；

連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點．證明A1E＝EF＝FC的過程如下：

因為平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，

平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中點， 所以E是A1F的中點，即A1E＝EF； 同理可證OF∥AE， 所以F是CE的中點，

即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.

解決平行關(guān)系的綜合問題的方法

(1)在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì)．

A1B1C1D1中，AD∥═B1C1，

(2)要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行和面面平行的性質(zhì)，實現(xiàn)相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法．

8．6.1 直線與直線垂直 8．6.2 直線與平面垂直

第1課時 直線與直線垂直、直線與平面垂直的定義及判定

1．異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．

(2)垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b垂直，記作a⊥b．

(3)范圍：設(shè)θ為異面直線a與b所成的角，則0°<θ≤90°. ■[名師點撥]

當(dāng)兩條直線a，b相互平行時，規(guī)定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.注意與異面直線所成的角的范圍的區(qū)別．

2．直線與平面垂直 定義 記法 有關(guān) 概念 一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直 l⊥α 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足 圖示 及畫法 四邊形的一邊垂直 ■名師點撥 (1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．

畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)條直線”．

3．直線與平面垂直的判定定理 文字 語言 圖形 語言 符號 語言 ■名師點撥 判定定理條件中的“兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，此處強調(diào)“相交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直．

典型應(yīng)用1

異面直線所成的角

如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．

l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α 如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直

求：(1)BE與CG所成的角； (2)FO與BD所成的角． 【解】 (1)如圖，因為CG∥BF.

所以∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.

(2)連接FH，因為HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．

所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角． 連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH為等邊三角形，

又知O為AH的中點，

所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.

1．[變條件]在本例正方體中，若P是平面EFGH的中心，其他條件不變，求OP和CD所成的角．

解：連接EG，HF，則P為HF的中點，連接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，

所以∠BAF(或其補角)為異面直線OP與CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP與CD所成的角為45°.

2．[變條件]在本例正方體中，若M，N分別是BF，CG的中點，且AG和BN所成的角為39.2°，求AM和BN所成的角．

解：連接MG，因為BCGF是正方形，所以BF∥═CG，因為M，N分別是BF，CG的中點，所以BM∥所以四邊形BNGM═NG，是平行四邊形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其補角)是異面直

線AG和BN所成的角，∠AMG(或其補角)是異面直線AM和BN所成的角，因為AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角為78.4°.

求異面直線所成的角的步驟

(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．

(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角． (3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ<180°，則180°－θ為所求．

[提醒] 求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°.

典型應(yīng)用2

直線與平面垂直的定義

(1)直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能( ) A．平行 C．異面

．相交 ．垂直

(2)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是( ) A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 【解析】 (1)因為直線l⊥平面α，所以l與α相交． 又因為m?α，所以l與m相交或異面． 由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m. 故l與m不可能平行．

(2)對于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對于B，因為l⊥α，則l垂直于α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面；對于D，l，m還可能相交或異面．

【答案】 (1)A (2)B

對線面垂直定義的理解

(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解．實際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直．

(2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b. 典型應(yīng)用3

直線與平面垂直的判定

如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE

⊥PB于點E，AF⊥PC于點F.

(1)求證：PC⊥平面AEF；

(2)設(shè)平面AEF交PD于點G，求證：AG⊥PD.

【證明】 (1)因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB， 所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC， 所以AE⊥PC.

又因為PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF.

(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG?平面AEF， 所以PC⊥AG，

同理CD⊥平面PAD，AG?平面PAD， 所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD， 所以AG⊥PD.

1．[變條件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是線段AC上任意一點，其他條件不變，求證：BD⊥FH.

證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，

BD?平面ABCD， 所以BD⊥PA， 因為PA∩AC＝A，

所以BD⊥平面PAC，又FH?平面PAC， 所以BD⊥FH.

2．[變條件]若本例中PA＝AD，G是PD的中點，其他條件不變，求證：PC⊥平面AFG.

證明：因為PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以DC⊥PA， 又因為ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A， 所以DC⊥平面PAD，又AG?平面PAD， 所以AG⊥DC，

因為PA＝AD，G是PD的中點， 所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D， 所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG， 又因為PC⊥AF，AG∩AF＝A， 所以PC⊥平面AFG.

3．[變條件]本例中的條件“AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F”，改為“E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，PA＝AD”，其他條件不變，求證：EF⊥平面PCD.

證明：取PD的中點G，連接AG，F(xiàn)G. 因為G，F(xiàn)分別是PD，PC的中點，

11∥所以GF∥CD，又AE═2═2CD，所以GF∥═AE， 所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以AG∥EF. 因為PA＝AD，G是PD的中點， 所以AG⊥PD，所以EF⊥PD， 易知CD⊥平面PAD，AG?平面PAD， 所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.

因為PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.

(1)線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化

(2)證明線面垂直的方法 ①線面垂直的定義． ②線面垂直的判定定理．

③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．

④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．

[提醒] 要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面)，通常是證明其中

的一條直線垂直于另一條直線所在的一個平面．

直線與平面所成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)定理

1．直線與平面所成的角

(1)定義：如圖，一條直線PA和一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點P向平面α

引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．

(2)規(guī)定：一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，稱它們所成的角是0°.

(3)范圍：直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°． ■名師點撥

把握定義應(yīng)注意兩點：①斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的；②斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．

2．直線與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 符號語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行 a⊥α???a∥b b⊥α?圖形語言 作用 ■名師點撥 (1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法． (2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．

3. 線面距與面面距

(1)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，

①線面垂直?線線平行 ②作平行線 叫做這條直線到這個平面的距離．

(2)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．

典型應(yīng)用1

直線與平面所成的角

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，求直線BE與平面

ABB1A1所成的角的正弦值．

【解】 取AA1的中點M，連接EM，BM.

因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD. 又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角．

設(shè)正方體的棱長為2， 則EM＝AD＝2，BE＝

22＋22＋12＝3.

EM2于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝BE＝3， 2

即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為3.

典型應(yīng)用2

線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

如圖，已知正方體A1C. (1)求證：A1C⊥B1D1；

(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，

求證：MN∥A1C.

【證明】 (1)如圖，連接A1C1.

因為CC1⊥平面A1B1C1D1， B1D1?平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1D1.

因為四邊形A1B1C1D1是正方形， 所以A1C1⊥B1D1. 又因為CC1∩A1C1＝C1， 所以B1D1⊥平面A1C1C.

又因為A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C. (2)如圖，連接B1A，AD1. 因為B1C1∥═AD，

所以四邊形ADC1B1為平行四邊形， 所以C1D∥AB1，

因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1. 又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1， 所以MN⊥平面AB1D1. 由(1)知A1C⊥B1D1. 同理可得A1C⊥AB1. 又因為AB1∩B1D1＝B1， 所以A1C⊥平面AB1D1. 所以A1C∥MN.

(1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．

(2)直線與平面垂直的其他性質(zhì)

①如果一條直線和一個平面垂直，則這條直線和這個平面內(nèi)任一條直線垂直； ②若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面； ③若l⊥α于A，AP⊥l，則AP?α； ④垂直于同一條直線的兩個平面平行；

⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面． 典型應(yīng)用3

求點到平面的距離

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥

平面ABCD，E為PD的中點．

(1)證明：PB∥平面AEC；

(2)設(shè)AP＝1，AD＝3，三棱錐P-ABD的體積V＝A到平面PBC的距離．

【解】 (1)證明：如圖，設(shè)BD與AC的交點為O，EO.

因為四邊形ABCD為矩形，所以點O為BD的中點． 又點E為PD的中點，所以EO∥PB.

因為EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC. 13

(2)V＝AP·AB·AD＝AB.

6633由V＝4，可得AB＝2. 作AH⊥PB于點H.

由題設(shè)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的長就是點A到平面PBC的距離．

連接

3，求4

AP·AB31313

因為PB＝AP＋AB＝2，所以AH＝PB＝13，

2

2

313

所以點A到平面PBC的距離為13.

從平面外一點作一個平面的垂線，這個點與垂足間的距離就是這個點到這個平面的距離．當(dāng)該點到已知平面的垂線不易作出時，可利用線面平行、面面平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與已知平面等距離的點作垂線，然后計算，也可以利用等換法轉(zhuǎn)換求解．

8.6.3 平面與平面垂直

1．二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．

(2)圖形和記法 圖形：

記作：二面角α-AB-β或二面角α-l-β或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q． 2．二面角的平面角

(1)定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．

(2)圖形、符號及范圍 圖形：

符號：

α∩β＝l，O∈l

?

OA?α，OB?β??∠AOB是二面角的平面角． OA⊥l，OB⊥l?

范圍：0°≤∠AOB≤180°．

(3)規(guī)定：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．

■名師點撥

(1)二面角的大小與垂足O在l上的位置無關(guān)．一個二面角的平面角有無數(shù)個，它們的大小是相等的．

(2)構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”．即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可．這三個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面與棱垂直．

3．平面與平面垂直

(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直，平面α與β垂直，記作α⊥β．

(2)判定定理

文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 ■名師點撥 定理的關(guān)鍵詞是“過另一個平面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個平面的垂線．

4．平面與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直 圖形語言 符號語言 l⊥β???α⊥β l?α?符號語言 α⊥β α∩β＝l a?α a⊥l???a⊥β ? 圖形語言 作用 ①面面垂直?線面垂直 ②作面的垂線 ■名師點撥 對面面垂直的性質(zhì)定理的理解

（1）定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直. （2）已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.

典型應(yīng)用1

二面角的概念及其大小的計算

（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底

面ABCD所成銳二面角A1-BD-A的正切值為（ ）

3

A.2 C.2

2B.2 D.3

（2）一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關(guān)系為（ ）

A.相等 C.相等或互補

B.互補 D.不確定

【解析】 （1）如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，O為BD的中點，因為A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.

又因為在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角.

21

設(shè)AA1＝1，則AO＝2.所以tan∠A1OA＝＝2.

22

（2）反例：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，C1D1的中點，二面角D-AA1-E與二面角B1-AB-C的兩個半平面就是分別對應(yīng)垂直的，但是這兩個二面角既不相等，也不互補.

【答案】 （1）C （2）D

（1）求二面角大小的步驟

簡稱為“一作二證三求”. （2）作出二面角的平面角的方法

方法一：（定義法）在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.

如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角.

方法二：（垂線法）過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.

如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角.

方法三：（垂面法）過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角.

如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.

[提醒] 二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點.

典型應(yīng)用2

平面與平面垂直的判定 角度一 利用定義證明平面與平面垂直

如圖，在四面體ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB

＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.

【證明】 因為△ABD與△BCD是全等的等腰三角形， 所以取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE.

在△ABD中，AB＝a， 12

BE＝2BD＝2a， 所以AE＝

2

AB2－BE2＝2a.

2

同理CE＝2a，在△AEC中， 2

AE＝CE＝2a，AC＝a. 由于AC2＝AE2＋CE2，

所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A-BD-C的平面角，又因為∠AEC＝90°， 所以二面角A-BD-C為直二面角， 所以平面ABD⊥平面BCD.

角度二 利用判定定理證明平面與平面垂直

如圖，在四棱錐P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且

四邊形ABCD是菱形.求證：平面PAC⊥平面PBD.

【證明】 因為PA⊥平面ABCD， BD?平面ABCD， 所以BD⊥PA.

因為四邊形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC. 又因為BD?平面PBD， 所以平面PAC⊥平面PBD.

證明平面與平面垂直的兩種常用方法

（1）利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是： ①找出兩相交平面的平面角； ②證明這個平面角是直角；

③根據(jù)定義，這兩個相交平面互相垂直.

（2）利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直.即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：

典型應(yīng)用3

面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，

平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.

【證明】 如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點D，

因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，

所以AD⊥平面PBC，

又BC?平面PBC，所以AD⊥BC. 因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以PA⊥BC， 因為AD∩PA＝A， 所以BC⊥平面PAC，

又AC?平面PAC，所以BC⊥AC.

利用面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)注意的問題

若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，應(yīng)注意三點：①兩個平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線.

典型應(yīng)用4

垂直關(guān)系的綜合問題

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，

且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA； （3）平面DEA⊥平面ECA.

【證明】 （1）如圖，取EC的中點F，連接DF. 因為EC⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以EC⊥BC. 同理可得BD⊥AB，

易知DF∥BC，所以DF⊥EC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中， 1

因為EF＝2EC，EC＝2BD， 所以EF＝BD. 又FD＝BC＝AB，

所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA. （2）取CA的中點N，連接MN，BN， 1

則MN∥EC，且MN＝2EC. 1

因為EC∥BD，BD＝2EC， 所以MN綊BD， 所以N點在平面BDM內(nèi). 因為EC⊥平面ABC， 所以EC⊥BN.

又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA. 因為BN在平面MNBD內(nèi)， 所以平面MNBD⊥平面ECA，

即平面BDM⊥平面ECA.

（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA， 所以DM⊥平面ECA. 又DM?平面DEA， 所以平面DEA⊥平面ECA.

垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：